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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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8. Determine en cada caso el valor de la constante aa
a) lim⁡x→+∞ax2+4x+1−1x=5\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{a x^{2}+4 x+1}-1}{x}=5

Respuesta

En principio, fijate que sin importar el valor de aa estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Entonces, arrancamos sacando factor común "el que manda" adentro de la raíz:

lim⁡x→+∞x2(a+4x+1x2)−1x \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^2(a + \frac{4}{x}+\frac{1}{x^2})}-1}{x}

Distribuimos la raíz

lim⁡x→+∞x2a+4x+1x2−1x \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^2}\sqrt{a + \frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}-1}{x}

Cancelamos la potencia con la raíz, acordate que x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|, pero como xx está tendiendo a +∞+\infty (es recontra positivo), entonces ∣x∣=x|x| = x

lim⁡x→+∞xa+4x+1x2−1x \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \sqrt{a + \frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}-1}{x}

Si distribuimos esa xx del denominador nos queda:

lim⁡x→+∞a+4x+1x2−1x \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{a + \frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}} - \frac{1}{x} Tomamos límite: lim⁡x→+∞a+4x+1x2−1x=a \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{a + \frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}} - \frac{1}{x} = \sqrt{a}

Buenísimo, calculamos el límite y nos dio a\sqrt{a} . Ahora nosotros queríamos que nos diera 55, entonces...

 a=5 \sqrt{a} = 5

a=25 a = 25

y esa es la respuesta correcta =)
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